Verifica se un Numero è Primo e calcola i Divisori

Cos’è un numero primo

Un numero primo è un numero divisibile solo per 1 e per sé stesso, ossia quando gli unici suoi divisori sono 1 ed il numero stesso.

Ad esempio, 15 non è un numero primo perché i suoi divisori sono a 1, 3, 5 e 15.

Viceversa, il numero 23 è un numero primo perché non esistono altri divisori al di fuori di 1 e 23.

Con la nostra applicazione, oltre a stabilire se un numero è primo oppure no, puoi calcolare anche tutti i suoi divisori.

Come si calcolano i Divisori di un numero?

Il "divisore" di un numero A (dividendo) si definisce come quel numero D che moltiplicato per il quoziente Q della "divisione intera" è esattamente uguale ad A.

In questo caso la divisione Q = A / Dresto zero e si dice anche "divisione esatta" o, ancora, che A è "divisibile" per D.

Nota: il simbolo / si utilizza al posto di ÷ per indicare la divisione intera.

Esempio:
3 è divisore di 24 perché la divisione intera 28 / 3 = 8 (8 è il quoziente) e 3 × 8 = 24.
5 non è divisore di 24 perché la divisione intera 24 / 5 = 4 (4 è il quoziente) e 4 × 5 = 20 che è diverso da 24; in questo caso il resto della divisione è = 4.

Come si riconoscono i numeri primi?

Semplice: basta utilizzare la nostra applicazione!

Scherzi a parte, esistono alcune semplici regole che si possono applicare subito per capire se un numero è primo oppure no, senza dover calcolare i suoi divisori.

Ad esempio, tutti i numeri pari maggiori di 2 non sono primi perché sono sempre divisibili per 2, oppure tutti i numeri maggiori di 5 che terminano per zero o per 5 sono divisibili per 5 e quindi non sono primi.

Ancora, come è noto, tutti i numeri interi la cui somma delle cifre che li compongono è divisibile per 3 sono sempre divisibili per 3 e quindi, a parte proprio il numero 3, non sono primi.
Ad esempio: la somma delle cifre del numero 417 è 12 (4 + 1 + 7) che è divisibile per 3 e quindi 417 non è un numero primo (i suoi divisori sono infatti 1, 3, 139 e 417).

In ogni caso, per la definizione stessa di "numero primo", dato un qualsiasi numero è sufficiente trovare anche un solo divisore diverso da 1 e dal numero stesso per asserire che tale numero non è primo.

Il numero 1 è primo?

La risposta è no, anche se, a ben vedere, il numero 1 è anch’esso divisibile solo per 1 e per sé stesso.

Ma allora perché 1 non viene considerato un numero primo?

Semplicemente perchè, in caso contario, il "teorema fondamentale dell’aritmetica" non sarebbe più valido per tutti i numeri naturali.

Vediamo perché.

Il teorema fondamentale dell’aritmetica

Questo teorema asserisce che:

Ogni numero naturale o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, a prescindere dall’ordine dei fattori.

Il teorema spiega anche l’importanza dei numeri primi perché è alla base di quella che normalmente viene detta "scomposizione in fattori primi" dei numeri naturali.

Se 1 fosse un numero primo, tutti i numeri avrebbero più di una scomposizione in fattori primi perché la molitplicazione per 1, essendo un numero primo, potrebbe essere aggiunta ad ogni scomposizione e verrebbe quindi a cadere il requisito dell’univocità.

Esempio:
12 non è primo e può essere rappresentato come il prodotto dei numeri primi: 3 × 2 × 2.
Tale rappresentazione identifica univocamente il numero 12 e il numero 12 ha questa sola rappresentazione, ovviamente a prescindere dall’ordine dei fattori (2 × 3 × 2 oppure 2 × 2 × 3 sono la stessa rappresentazione) .
Se però 1 fosse considerato un numero primo, allora si potrebbero avere anche altre rappresentazioni per lo stesso numero, e cioè: 12 = 3 × 2 × 2 × 1 oppure ancora 12 = 3 × 2 × 2 × 1 × 1 e così via …

Quindi, come si vede anche dall’esempio, l’ipotesi "1 è un numero primo" porta ad una conclusione che contrasta apertamente con l’univocità della scomposizione in fattori primi e pertanto ne consegue che 1 non può essere considerato un numero primo.

Certamente il teorema fondamentale dell’aritmetica avrebbe potuto essere enunciato nel seguente modo: "Ogni numero naturale diverso da 1 ecc…" ma questo implicherebbe di dover sempre specificare l’eccezione per il numero 1 anche in tutti gli altri teoremi correlati o derivati, per cui, tutto sommato, si preferisce non considerare 1 come primo.

La successione dei numeri primi è pertanto: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 ecc…

Esempi

Se il numero 11 è primo perché 111 non è un numero primo?

Semplicemente perché, oltre a 1 e 111, ha anche altri due divisori: 3 e 37.
Infatti 111 / 3 = 37, così come 111 / 37 = 3.

Nota: con il simbolo / indichiamo la "divisione intera".

Applicazioni pratiche

Il calcolo dei divisori di un numero si utilizza nel calcolo del Massimo Comun Divisore che serve per effettuare le operazioni di addizione e sottrazione di frazioni.

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