Calcolo Massimo Comun Divisore

Cos’è il Massimo Comune Divisore

Il Massimo Comune Divisore di due numeri interi positivi A e B, spesso abbreviato con MCD (A, B), è il più grande dei loro divisori(1) comuni.

Come si calcola il Massimo Comune Divisore

Per chi conosce un minimo di teoria degli insiemi possiamo dire che per determinare il massimo comune divisore di due numeri A e B si devono costruire prima di tutto gli insiemi DA e DB contenenti i rispettivi divisori(1).

Una volta che abbiamo determinato gli insiemi dei divisori, calcoliamo la loro intersezione DA DB ottenendo un nuovo insieme che contiene i divisori appartenenti ad entrambi gli insiemi ed infine prendiamo l’elemento più grande dell’intersezione.

(1) Il "divisore" di un numero A (dividendo) è quel numero D che moltiplicato per il quoziente Q della "divisione intera" è esattamente uguale ad A.
In questo caso la divisione intera Q = A / D dà resto zero e si dice anche "divisione esatta" o, ancora, che A è "divisibile" per D.

Nota: il simbolo / si utilizza al posto di ÷ per indicare la divisione intera.


Esempi di calcolo

Dati i numeri A = 12 e B = 28, il loro MCD si può ricavare nel seguente modo:

insieme dei divisori di A: DA = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

insieme dei divisori di B: DB = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

Calcoliamo l’intersezione DA ∩ DB, ovvero l’insieme che contiene gli elementi comuni, che per semplicità abbiamo evidenziato in grassetto, e otteniamo così l’insieme {1, 2, 4}.

Il numero più grande dell’intersezione (4) è proprio il massimo comune divisore che cerchiamo per cui possiamo dire che MCD(12, 28) = 4.

Nota:
Ogni numero intero maggiore di 1 ha sempre almeno due divisori distinti: il numero 1 e sé stesso.

Applicazioni pratiche

Il massimo comune divisore serve per ridurre ai minimi termini (semplificare) una frazione.

Data una qualsiasi frazione con numeratore A e denominatore B, la sua riduzione ai minimi termini consiste nel dividere A e B per il loro massimo comune divisore, ottenendo una frazione perfettamente equivalente rispetto all’originale, ma con numeratore e denominatore più piccoli.

Se il MCD del numeratore e del denominatore è 1 significa che entrambi non hanno divisori in comune (tranne 1) e pertanto la frazione non è semplificabile.

 A     A ÷ MCD(A, B)
——— = ——————————————
 B     B ÷ MCD(A, B)

Esempio:
Semplificare la seguente frazione:

 52
————
 28

Poiché MCD(52, 28) = 4 avremo che:

 52     52 ÷ 4     13
———— = ———————— = ————
 28     28 ÷ 4     7

Come si può facilmente vedere, le due frazioni sono equivalenti perché eseguendo la divisione di numeratore e denominatore con i numeri decimali (in questo caso non dobbiamo usare la divisione intera) otteniamo i seguenti rapporti:

52 ÷ 28 = 1,857142857142857…

esattamente come:

13 ÷ 7 = 1,857142857142857…
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