Calcolo Area del Triangolo con la formula di Erone

La Formula di Erone

La formula di Erone, noto matematico dell’antica Grecia, stabilisce che l’area di un qualsiasi triangolo è data dalla radice quadrata del semiperimetro (perimetro diviso due) moltiplicato per il prodotto delle differenze tra il semiperimetro stesso e i tre lati del triangolo.

A = [ Sp × (Sp - L1) × (Sp - L2) × (Sp - L3) ]

dove:

  • è la radice quadrata.
  • Sp è il semiperimetro del triangolo, ossia il perimetro diviso 2.
  • L1, L2 e L3 sono le lunghezze dei lati del triangolo che sommate danno il perimetro.
  • le parentesi quadre indicano che la radice quadrata va calcolata sul risultato delle tre moltiplicazioni.
Area del triangolo

A prima vista la formula di Erone può apparire complicata ma in realtà il calcolo può essere effettuato tramite alcuni semplici passaggi:

  1. Si sommano le lunghezze dei tre lati L1, L2, L3 e si divide il risultato per due ottenendo il semiperimetro Sp.

  2. Per ciascuno dei lati si calcola la differenza tra il semiperimetro Sp e la lunghezza del lato stesso (Sp - L1, Sp - L2, Sp - L3).

  3. Si moltiplicano tra loro le differenze calcolate sopra.

  4. Si moltiplica il risultato per il semiperimetro Sp.

  5. Si calcola la radice quadrata del prodotto.

Quando si usa la Formula di Erone

La formula di Erone si utilizza quando si conoscono le lunghezze dei tre lati ma non l’altezza del triangolo, ossia quando non è possibile calcolare l’area del triangolo con la formula classica (base per altezza diviso due).

La condizione per poter effettuare il calcolo è che nessuno dei tre lati sia minore o uguale al semiperimetro perché altrimenti il prodotto sarebbe uguale a zero oppure un numero negativo (la radice quadrata di un numero negativo non esiste).

Se questa condizione non è rispettata significa che sicuramente nella realtà non può esistere un triangolo avente tali misure e per questo motivo l’applicazione controlla la consistenza dei dati inseriti prima di effettuare il calcolo, segnalando un errore nel caso in cui le misure inserite non siano congruenti.

Formula Trigonometrica

Segnaliamo anche una formula che consente di calcolare l’area di un triangolo sfruttando la trigonometria.
Essa stabilisce che l’area di un triangolo è il prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso, il tutto diviso 2.

A = ( L1 × L2 × sen α ) ÷ 2

dove:

  • L1 e L2 sono le lunghezze di due lati del triangolo.
  • α è l’angolo formato dai due lati L1 e L2.
  • in trigonometria "sen α" indica l’operazione di calcolo del "seno" di α.

Esempi di calcolo

Calcolare l’area di un triangolo i cui lati misurano 16, 18 e 8 cm, con arrotondamento a due decimali.

Applichiamo la formula di Erone scomponendola nei vari passaggi:

  1. Calcoliamo il semiperimetro:
    Sp = (16 + 18 + 8) ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21
  2. Calcoliamo le tre differenze tra semiperimetro e lati:
    21 - 16 = 5, 21 - 18 = 3, 21 - 8 = 13
  3. Moltiplichiamo le differenze calcolate:
    5 × 3 × 13 = 195
  4. Moltiplichiamo il risultato per il semiperimetro:
    195 * 21 = 4095
  5. Calcoliamo infine la radice quadrata:
    4095 = 63,99218702310463

    che arrotondata è uguale a: 63,99.

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