Calcolo Arrotondamento per Eccesso o per Difetto

Cos’è l’Arrotondamento

L’arrotondamento è un’operazione finalizzata a sostituire con zero la parte non significativa di un numero in base ad un grado di precisione prestabilito.

Le cifre che sostituiamo con lo zero sono dette anche "cifre non significative", nel senso che non sono ritenute utili per il contesto in cui stiamo utilizzando il numero.
Viceversa, le cifre rimaste dopo l’arrotondamento sono dette "cifre significative".

L’arrotondamento è un’operazione che incontriamo quotidianamente nelle attività più disparate che vanno dai calcoli contabili e finanziari, alla misurazione di grandezze fisiche o alla rappresentazione informatica dei numeri decimali.

Generalmente l’arrotondamento si applica ai numeri decimali, come fa la nostra applicazione, ma in realtà può essere applicato a qualsiasi numero, anche intero, come ad esempio nel caso in cui si voglia arrotondare un numero "alle centinaia" o "alle migliaia" (per questo scopo ti consigliamo di utilizzare questa applicazione).

Tipi di Arrotondamento

Esistono tre tipi di arrotondamento:

Arrotondamento per Difetto

L’arrotondamento per difetto di un numero consiste semplicemente nel sostituire con zero le cifre non significative.
Tale operazione è detta anche troncamento di un numero.

Esempio 1) 20,7589 arrotondato per difetto al secondo decimale = 20,75.
Esempio 2) 20,7589 arrotondato per difetto al terzo decimale = 20,758.

Nota: nel caso dei numeri decimali, la sostituzione delle cifre decimali non significative con lo zero equivale a togliere del tutto le cifre non significative in quanto lo zero a destra delle cifre decimali si elide automaticamente (scrivere 20,75 è la stessa cosa di 20,7500).

Analogamente con i numeri interi:
13.215 (tredicimiladuecentoquindici) arrotondato per difetto alle centinaia = 13.200.

Arrotondamento per Eccesso

L’arrotondamento per eccesso consiste nel sostituire con zero le cifre non significative ed aggiungere sempre 1 all’ultima delle cifre significative, ossia quella più a destra.

Esempio 1) 45,7249 arrotondato per eccesso al secondo decimale = 45,73 (l’ultima delle cifre significative è 2 a cui aggiungo 1).
Esempio 2) 45,7249 arrotondato per eccesso al terzo decimale = 45,725 (l’ultima delle cifre significative è 4 a cui aggiungo 1).

Se l’ultima delle cifre significative è uguale a 9 essa diventa zero e si aggiungere 1 alla penultima delle cifre significative; questo procedimento si ripete fino a quando si incontrano cifre significativa uguali a 9.

Esempio 3) 45,7949 arrotondato per eccesso al secondo decimale = 45,8 (l’ultima delle cifre significative è 9 e quindi diventa zero e si aggiungere 1 alla penultima cifra significativa che da 7 diventa 8).

Arrotondamento Naturale

L’arrotondamento naturale tiene conto della prima cifra non significativa (ossia la prima delle cifre sostituite o eliminate) per stabilire quale dei due arrotondamenti precedenti adottare secondo la seguente regola:

  • Se la prima cifra non significativa è < 5 (minore di 5) si esegue l’arrotondamento per difetto
  • Se la prima cifra non significativa è ≧ 5 (maggiore o uguale a 5) si esegue l’arrotondamento per eccesso

Esempio 1) 10,724 arrotondato al secondo decimale = 10,72 perché la prima cifra non significativa (4) è < 5 e quindi si effettua l’arrotondamento per difetto.
Esempio 2) 10,726 arrotondato al secondo decimale = 10,73 perché la prima cifra non significativa (6) è ≧ 5 e quindi si effettua l’arrotondamento per eccesso aggiungendo 1 alla seconda cifra significativa (2).

Analogamente con i numeri interi:
Esempio 1) 83.210 (ottantatremiladuecentodieci) arrotondato alle migliaia = 83.000 perché la prima cifra non significativa (2) è < 5.
Esempio 2) 83.602 (ottantatremilaseicentodue) arrotondato alle migliaia = 84.000 perché la prima cifra non significativa (6) è ≧ 5.

L’arrotondamento naturale è detto anche arrotondamento automatico proprio perché stabilisce automaticamente quale tipo di arrotondamento effettuare in base alla prima delle cifre non significative.

A cosa serve l’Arrotondamento

L’arrotondamento di una quantità numerica nasce da necessità che possiamo raggruppare sostanzialmente in due categorie:

Esigenze di semplificazione

Nella realtà quotidiana spesso, per motivi essenizialmente pratici, conviene esprimere determinate grandezze senza fare necessariamente uso della massima precisione possibile.

L’esempio tipico è l’arrotondamento all’Euro, oppure ai 10 centesimi di Euro che molti negozi adottano per semplificare le operazioni di resto in caso di pagamento in contanti, pur essendo presenti in circolazione sia le monete da 2 che quelle da 5 centesimi.

Analogamente, se devo vendere 10 quintali di legna, non ha senso avere una bilancia con una precisione superiore al Kg (chilogrammo), perché il prezzo della legna è solitamente espresso in Euro al quintale e, in fin dei conti, potrei arrotondare il peso anche ai 10 Kg.

Limiti fisici

Quando si effettuano misurazioni di qualsiasi tipo (lunghezza, volume, tempo, peso ecc…) gli stessi strumenti di misura effettuano sempre un arrotondamento implicito perché, per ovvii motivi, hanno una precisione limitata.

In fisica inoltre, l’arrotondamento è legato anche al concetto di unità di misura con cui si intende misurare ed esprimere una determinata grandezza fisica.

Se ad esempio, sto misurando la cubatura di una stanza per valutare la dispersione energetica, posso tranquillamente imporre come precisione massima il centimetro senza scendere al livello del millimetro o meno, e quindi mi basta uno strumento che possa misurare "fino al centimetro".

Un’altro esempio tipico di arrotondamento legato a limiti di tipo fisico si ha nella rappresentazione informatica dei numeri decimali.

In matematica esistono numeri con infiniti decimali, si pensi ad esempio al classico pi-greco π = 3,141592653589…, oppure ancora ai numeri periodici come il risultato della divisione non intera 2 ÷ 3 = 0,6666666666666666… con il numero 6 che si ripete all’infinito.

I linguaggi di programmazione dei computer, avendo una memoria limitata per quanto grande, devono stabilire a priori la quantità di memoria riservata alla loro rappresentazione, ossia il numero massimo di byte.

Il numero di byte è ovviamente limitato mentre i decimali no e quindi, nel momento in cui si impone un limite al numero massimo di decimali rappresentabili, si è costretti ad effettuare l’operazione di arrotondamento.

Se ad esempio si stabilisce di rappresentare i numeri decimali con al massimo 6 cifre decimali il risultato della divisione 2 ÷ 3 sarà memorizzato come 0,666666 oppure 0,666667 a seconda che si decida di arrotondare la decima cifra 6 per difetto o per eccesso.

A questo proposito va detto che tutti i linguaggi di programmazione adottano implicitamente l’arrotondamento naturale e quindi, nel nostro esempio, il risultato sarà 0,666667.

Note per la compilazione dei campi

Numero Decimali

E’ il numero di decimali che determina la precisione dell’arrotondamento.
Il numero di decimali per l’arrotondamento deve essere maggiore del numero di decimali presenti nel numero da arrotondare altrimenti l’operazione non avrà alcun effetto.
Esempio 1) 23,786 arrotondato per difetto con 2 decimali = 23,78.
Esempio 2) 23,7862 arrotondato per eccesso con 3 decimali = 23,787.
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