Semplificazione di Frazioni

La semplificazione di frazioni

Come è noto esistono infinite frazioni in grado di rapprentare lo stesso rapporto.

Ad esempio:
 3    6     27
———, ——— e ————
 5    10    45
sono frazioni diverse ma in pratica sono la stessa cosa perché 3 ÷ 5 = 0,6 ma anche 6 ÷ 10 = 0,6, così come 27 ÷ 45 = 0,6.

Semplificare una frazione significa trovare una nuova frazione in cui il numeratore e il denominatore siano i più piccoli numeri interi possibili in grado di mantenere lo stesso rapporto della frazione originaria.

Come si semplifica una frazione

Il primo passo per semplificare una frazione è quello di determinare i divisori del numeratore e del denominatore e tra questi trovare il più grande tra quelli in comune.

In pratica dobbiamo calcolare il cosiddetto massimo comun divisore tra il numeratore e il denominatore, abbreviato con MCD.

Una volta trovato il MCD, la frazione semplificata si ottiene dividendo numeratore e denominatore per il MCD.

Il rapporto è sempre lo stesso in quanto, per una nota proprietà delle frazioni, se si divide (o si moltiplica) sia il numeratore che il denominatore di una frazione per lo stesso numero il rapporto non cambia.

Ma in più, in questo caso, non stiamo dividendo per un numero qualsiasi, ma per il più grande divisore comune e questo ci dà la garanzia che il numeratore e il denominatore della frazione semplificata saranno i più piccoli possibili.

Nota:
Questa applicazione visualizza sempre il risultato nella notazione compatta "A/B" (esempio: 3/5) e la stessa notazione deve essere utilizzata nelle risposte ai test.
Può capitare che, semplificando una frazione, il denominatore sia uguale a 1, nel qual caso il risultato sarà costituito dal solo numeratore.
Ad esempio: semplificando la frazione 27/9 si ottiene 9/1 o, più semplicemente 9.

La formula

Volendo esprimere la relazione che intercorre tra la frazione originaria e la frazione semplificata possiamo scrivere che:

 A     A ÷ MCD(A, B)
——— = ———————————————
 B     B ÷ MCD(A, B)

dove:

  • A è il numeratore della frazione da semplificare
  • B è il denominatore della frazione da semplificare
  • MCD(A, B) è il massimo comun divisore tra A e B

Esempio:

Semplifichiamo la frazione

 27
————
 45

I divisori di 27 sono: 1, 3, 9 e 27.

I divisori di 45 sono: 1, 3, 5, 9, 15 e 45. (per calcolare i divisori di un numero puoi utilizzare questa applicazione).

Come si vede, il MCD di 27 e 45 è uguale a 9 per cui la frazione semplificata sarà:

 27 ÷ 9     3
———————— = ———
 45 ÷ 9     5

Applicazioni pratiche

La semplificazione di frazioni si utilizza quasi sempre quando si effettuano le operazioni aritmetiche con le frazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione divisione di frazioni).

Inoltre, un frazione semplificata, dà un’idea più immediata del rapporto che rappresenta, nel senso che si riesce a comprendere meglio l’entità di tale rapporto confrontando numeri piccoli ed è più facilmente applicabile alla realtà quotidiana.

La frazione
 3
———
 5
lascia intendere molto meglio le proporzioni in gioco (3 parti su 5) rispetto alla frazione non semplificata
 27
————
 45
che pur rappresenta lo stesso identico rapporto.
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