Calcolo Minimo Comune Multiplo

Cos’è il Minimo Comune Multiplo

Dati due o più numeri interi positivi si definisce come loro Minimo Comune Multiplo (abbreviato in MCM) il più piccolo numero intero positivo che sia multiplo di tutti i numeri.

Se uno di tali numeri è uguale a zero, per definizione il loro minimo comune multiplo sarà uguale a zero.

Se ci limitiamo al caso più frequente di due soli numeri possiamo dire che il minimo comune multiplo di due numeri interi positivi A e B, abbreviato in MCM (A, B), è il più piccolo dei loro multipli comuni.

Come si calcola il Minimo Comune Multiplo

Il metodo di calcolo del MCM si comprende molto bene con un esempio pratico.

Poniamo ad esempio: A = 12 e B = 28.

Indichiamo con M1 l’insieme dei multipli di A:
MA = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …} in ordine crescente
(le parentesi graffe si utilizzano solitamente per rappresentare gli insiemi)

Indichiamo con M2 l’insieme dei multipli di B:
MB = {28, 56, 84, …}, anch’essi in ordine crescente.

Poiché i numeri presenti nei due insiemi MA e MB sono in ordine crescente non facciamo altro che scorrerli da sinistra a destra e trovare il primo numero in comune, che in questo caso è 84, ossia MCM (12, 28) = 84 (il minimo comune multiplo di 12 e 28 è uguale a 84).

Estedendo il metodo a più di due numeri, basta costruire gli insiemi dei multipli di tutti i numeri, ordinare in ordine crescente i multipli di ciascun insieme e trovare quello in comune a tutti gli insiemi partendo da sinistra a destra.

Un metodo di calcolo alternativo

Un’altro metodo meno empirico per calcolare il Minimo Comune Multiplo si basa sulla seguente proprietà fondamentale:

MCM (A, B) = (A × B) ÷ MCD (A, B)

ossia: il Minimo Comune Multiplo tra due numeri è sempre uguale al loro prodotto diviso il loro Massimo Comun Divisore.

Conoscendo quindi il Massimo Comune Divisore il calcolo risulta quindi piuttosto semplice.

Applichiamo il metodo di calcolo alternativo con riferimento all’esempio precedente dove A = 12 e B = 28.

Sostituendo i valori nella proprietà sopra descritta avremo:

MCM (12, 28) = (12 × 28) ÷ MCD (12, 28)

Calcoliamo ora il Massimo Comune Divisore tra 12 e 28:

MCD (12, 28) = 4

da cui, effettuando il prodotto e sostituendo il valore, otteniamo:

MCM (12, 28) = 336 ÷ 4 = 84

Applicazioni pratiche: somma e sottrazione di frazioni

Il minimo comune multiplo si utilizza per calcolare le addizioni e le sottrazioni di frazioni.

Se due frazioni hanno lo stesso denominatore, la loro somma sarà una terza frazione che ha lo stesso denominatore delle prime due e come numeratore la somma dei numeratori delle due frazioni.

Esempio:

 1     2     3
——— + ——— = ———
 5     5     5

Le cose si complicano leggermente quando i denominatori sono diversi, come nel seguente esempio.

 2     3
——— + ———
 3     4

Si determina prima di tutto il minimo comune multiplo dei due denominatori: MCM (3, 4) = 12 e si pone come denominatore della frazione risultante.

Si divide il nuovo denominatore (12) per il denominatore della prima frazione: 12 ÷ 3 = 4 e si moltiplica il risultato per il numeratore della prima frazione: 4 × 2 = 8.

Analogamente, si divide il nuovo denominatore (12) per il denominatore della seconda frazione: 12 ÷ 4 = 3 e si moltiplica il risultato per il numeratore della seconda frazione: 3 × 3 = 9.

Il nuovo numeratore sarà dato dalla somma dei due prodotti, ovvero: 8 + 9 = 17.

La somma delle due frazioni è pertanto:

 17
————
 12

Nota: per la sottrazione di frazioni vale lo stesso metodo di calcolo con la differenza che per determinare il numeratore anziché la somma dei due prodotti si fa la sottrazione.

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