Calcolo Elevazione a Potenza

Cos’è l’elevazione a potenza

In matematica l’operazione di elevazione di un numero n alla potenza k consiste nel moltiplcare il numero n per sé stesso k volte.

Se indichiamo con P(n,k) l’operazione di elevazione di n alla potenza k avremo che:

P(n,k) = n × n × n × n … k volte

Secondo la comune terminologia matematica "n" è la base e "k" l’esponente.

Spesso si trovano nelle formule matematiche le cosiddette notazioni abbreviate nella forma nk oppure n^k, di cui la prima è preferibile perché ancora più compatta.

Nel descrivere le formule con il linguaggio corrente si usano anche le locuzioni "n elevato alla k" o "n alla k", tralasciando la parola "elevato".

Infine, quando poi si sostituisce all’esponente un numero in cifre si tende ad utilizzare il corrispondente numero ordinale (esempio: anziché "n elevato a dieci" si tende a dire "n alla decima", sottintendendo il termine "potenza").

Nota: calcolare l’elevazione a potenza di un numero si dice anche "elevare a potenza un numero" o calcolare la "potenza di un numero".

Esempi di calcolo

Esempio: calcolare 26 (due alla sesta)

26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Eseguendo una alla volta le moltiplicazioni da sinistra a destra (il risultato non cambia se si eseguono da destra a sinistra) avremo:

26 = 4 × 2 × 2 × 2 × 2

Continuando a moltiplicare avremo:

26 = 8 × 2 × 2 × 2 = … = 32 × 2 = 64
tra -128 e 128

Potenze di Numeri Negativi

L’elevazione a potenza si può fare per qualsiasi numero: intero, decimale, positivo o negativo.

Una proprietà delle potenze è la seguente:

  • la potenza di un numero positivo è sempre positiva, per qualsiasi esponente
  • la potenza di un numero negativo è positiva se l’esponente è un numero pari
  • la potenza di un numero negativo è negativa se l’esponente è un numero dispari

Ma perché il segno cambia in base al fatto che l’esponente sia un numero pari o dispari?

La risposta è semplice ed è legata ad uno degli assiomi fondamentali della matematica:

  • a) il prodotto di due numeri positivi è un numero positivo
  • b) il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo
  • c) il prodotto di due numeri di segno diverso (uno positivo e l’altro negativo) è un numero negativo

Esempi:

-22 = -2 × -2 = 4

in base alla regola b)

-24 = -2 × -2 × -2 × -2 = 4 × 4 = 16

in base alle regole a) e b)

-23 = -2 × -2 × -2 = 4 × -2 = -8

in base alle regole b) e c)

Potenze con Esponente Negativo

Per definizione una potenza con esponente negativo equivale a dividere il numero 1 per la stessa potenza con esponente positivo.

Utilizzando la notazione abbreviata vale quindi la seguente relazione:

n-k = 1 / nk

Esempi:

2-3 = 1 / 23 = 1 / 8 = 0,125

Naturalmente anche per le potenze di numeri negativi con esponente negativo valgono le stesse regole descritte sopra.

Applicazioni pratiche

La notazione esponenziale è usata comunemente in matematica all’interno delle formule più disparate

In geometria una delle formule più semplici è quella che calcola il volume del cubo a partire dalla lunghezza del suo lato L.

V = L3

Da qui deriva l’espressione "elevare al cubo", usata comunemente al posto di "elevare alla terza", così come "elevare al quadrato" deriva dal calcolo dell’area del quadrato.

Le espressioni "n al quadrato" o "n al cubo" indicano rispettivamente le potenze n2 e n3.

Spesso si usano anche le locuzioni "il quadrato di" oppure "il cubo di" (esempi: "il quadrato di tre è nove", "il cubo di tre è ventisette").

Un altro utilizzo del calcolo esponenziale è nella rappresentazione dei numeri molti grandi in un formato compatto.

Si tratta della cosiddetta notazione esponenziale o rappresentazione esponenziale dei numeri che consiste nel rappresentare un qualsiasi numero come prodotto di un numero decimale per una potenza di 10 di cui si indica solo l’esponente.

Ad esempio:
Il numero 12.300.000.000.000.000.000 (utilizziamo il separatore delle migliaia) viene rappresentato come 1,23E+19, ossia 1,23 moltiplicato per E+19 che rappresenta in forma compatta l’elevazione a potenza P(10, 19), ossia 10 alla 19 (la base 10 non compare ma è sottintesa).

Dato che E+19 = 10.000.000.000.000.000.000 avremo quindi che il numero 1,23E+19 è uguale a 1,23 × 10.000.000.000.000.000.000 = 12.300.000.000.000.000.000.

Nota:
Il nostro calcolatore non fa uso della rappresentazione esponenziale ma visualizza il risultato per esteso con tutte le cifre disponibili.

Pagina generata in 0.013 secondi